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7. 如何攻克压轴题？

知乎盐选 2024年08月01日 99 次阅读阅读原文

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核心导读高中数学压轴题并非难题，而是复杂题，涉及多个知识点综合运用。通过分析典型例题，揭示解题步骤和知识点关联，帮助学生掌握解题技巧。

如何攻克压轴题？
高中数学提分手册：明晰高考套路，学习事半功倍
如果你的成绩目前已经稳定在了班级的中上游，数学考试成绩每次都不低于 120 分。
那么这时，制约你成绩提升的最主要因素一定是试卷上的压轴题。
接下来我们就一起建立两个关键认知，帮助你理解压轴题的解构原则。
压轴题不是难题而是复杂题
许多老师和学生都认为：压轴题之所以「难」，是由于题目涉及了难以想象的构造技巧，或使用了生僻而不常用的知识点。
他们把压轴题贴上了「偏题怪题」的标签。
更有一些老师，试图建议学生使用超越考纲的高等数学工具对其进行解答。
类似的想法，首先严重违背了高中数学教学和学习的科学性，还给你造成了一种误导：就是它让你认为这些题目和常规的考点就是不一样的，压轴题涉及的考点是在另外一个次元中的，属于更高一级的知识。
其实这就是一种非常刻板的印象。 
例题分析：解剖一只麻雀
我们来拿一道非常普通的压轴题来向你解释一下你的这个认知到底有什么问题：
…
我们来分析一下这道题目，你就会发现这道题的难点跟你想象得还不太一样，大家可以看我在笔记纸的左侧划了四个点，一共是四步。
我们回道这道题目：先看第一步，我的做法是对这个函数求导。
那你为什么会想到「求导」这种操作呢？
这就牵涉到了这个《导函数》部分的一个知识点：导数与函数之间有一个对应关系——「一个函数的导数的正负就决定要整个函数的增减」。
换句话说，导函数的符号是能确定原函数的单调性的——这就跟题目中说到的「单调递增」这个词对应上了。
这就是我一直强调的「知识是重要的，但是知识点的使用方法、知识的考法是更重要的」。
比如：一提到外接圆你就应该想起来「正弦定理」。
对于这道题目，提干条件说这个函数在整个实数范围内单调递增，意味着什么？
不就是说导函数恒正吗？
所以说，你这个题目中一看到单调，他的第一步就要求导。
当然，在求导的时候，你会发现它的运算过程也并不是非常简单的：
这一步的求导不仅涉及到导数的四则混合运算，还有一个链式法则——也就是中间的一项 -1/3 · sin2x ,这是一个典型的复合函数。
等于说这一步，这道题目就考了 3 个知识点：
1、函数与导函数的对应关系；
2、导数的四则混合运算；
3、复合函数求导的链式法则。
这就牵涉到老师在讲解「不等式」的时候给大家提到的一个关键用法了：不等式的一个重要的证明方法就是将一个不等式的问题转化为函数求最值的问题。
比如这里：导函数大于等于 0。
其实就是说这个东西的最小值要比这个数还要大。
换言之，这道题目在这儿转向成为了「三角函数求最值」的问题。
你把这个三角函数的最值给我算出来。
因为这个式子的系数含有参量 a 嘛，所以你算出来的那个最值一定也是和 a 相关的。
那么这个数要大于 0，就相当于解一个跟 a 相关的不等式，这个 a 的取值范围就定出来的，这个题目要说也就是这么个思路。
但是你不要以为这道题到这儿就结束了，它的下一步计算还蕴含了更多细节，我下面继续把这其中的细节给你掰开揉碎讲清楚。
更多细节：进一步的分析
如果你对高中数学三角函数求最值的基本逻辑清楚，你就会知道这种情况下你的策略应该是「优先把 x 的系数给化统一」。
他的次数可以不统一，但是我把它们整体代换成一个二次函数，也就是说我利用 y=cox 。
我把 cosx 当做整体代换掉，把它给降成一个二次函数，在二次函数上边来解决它的次数问题。
也就是说：到这儿，我们的题目又发生了一次转向。
这是我们的第二次转向。
你最开始本来以为这是要求参量的取值范围的问题，后来你求了导后发现这是一个三角函数求最值的问题；
但是在三角函数化简的过程中你发现化不成标准式，然后你就得把它变成一个二次函数；
现在、这道题被归成了「含参量的二次函数在定区间上求最值」的问题。
为什么是定区间呢？
因为你这个 y=cosx 它的取值范围是[ -1 , 1 ] ；
也就是说，你这个 y 的取值是[ -1 , 1 ]，这是一个定区间；
而你要在这个区间上求的一个最小值，这才是你问题的关键。
所以说你会发现这道题目他是在绕来绕去绕来绕去把你学会的基本上所有的事情都给你整合到一块去了啊。
那么最后、这个关于含参量的二次函数在定义区间上求最值究竟应该怎么求？
这就不是我今天要讲的重点了。
实际上你们初中的老师就应该跟你们讲过它的解法，核心是你要判断对称轴与区间的相对位置关系就行，对称轴究竟是在区间中点的左侧还是右侧，这你需要做一个分类讨论，具体的细节我就不在这里展开讲了。
这道题目考了哪些知识点？
我花这么多时间来跟大家讲这道题目的每一个步骤，是想要跟大家说：你会发现以后你在高考考场上碰到的压轴题都是这种情况——这种题目非常难，非常难得分，但是这些难题的「难」绝对不是在于它用了哪一个特别拐弯抹角的知识点。
其实就像我之前刚刚讲的，如果说你现在是一个高三的学生，整个高中知识都学完了，你会发现这道题目中用到的知识点哪一个你没有学到？
导函数的四则混合运算，链式法则，函数与导函数的对应关系，不等式与函数最值的关系，三角函数求最值的化简原则，二次函数在定区间上求最值的基本原理——每一个知识点都是非常自然的内容，如果单独拿出来考察，任何一个普通的学生都能拿到分数。
…
这是我做了一张整理的图片，你会发现这道题目，我们从头到尾再把它缕一遍的话它用到了什么样的东西呢？
第 1 步你要导数的运算：导数的运算里边我讲过有初等函数简单初等函数的导数、导数的四则运算、复合导数的链式法则；
第 2 步你还要知道导数的意义：最主要的是说导数与导函数的关系；
第 3 步你要知道三角函数求最值怎么求？三角函数方程的简化应该怎么简化？简化的过程当中标准方程的简化有什么原则？就是次数对齐系数对齐，如果说次数和系数不能同时对其的时候有一个特例要转换，把它变成了一个二次函数求最值；
第 4 步是：二次函数在定区间上求最值有什么样的方法？以及二次函数求最值在含参量的情况下，分类讨论的基本原则是什么？
——这所有的这么多考点，期指一算至少有 10 个，如果他把它糅合在那一道题目中，这些考点就像一个串联电路，你一个知识点不会，整道题目就崩盘了。
所以这道题目谈到这儿，就引出了我想告诉你的最重要的一个认知。 
关键认知：高考压轴题难在哪里？
高考的难题，它并不是哪一个知识点非常偏非常怪，你想不到、或者没学会——事实上你会发现每一个东西你都是会的，但是当很多知识点整合在一起时，整个题目的难度系数就会呈指数型增长。
一个题目给你 1 到 2 个知识点，你会感觉得心应手。
5 个知识点你就会感觉稍有难度了。
如果我给你整合 10 个知识点在一道题目中呢？
你会发现自己的思路就像过山车一样，需要根据具体的情况不停进行重新定向，那么这道题目就会变得非常「复杂」。
…
我今天跟大家拿着这道题目一步一步拆开，并不是想要跟你讲这个题目本身，我只不过是想跟大家解释一下：高考的压轴题目之所以难，其实并不是他「特殊」，而是因为他「复杂」——而它综合的每一个小的知识点，你都是能理解，并且可以学会的。
如果你楞要理解压轴题的难度在于它的知识点太偏太怪，那你对它的判断从根子上就是错的。
所以，压轴题尽管整体上难度很大，但你并不是每一步都不会做，天然就应该直接放弃，你要深刻地意识到：压轴题的每一步用到的那些知识点你都是能学会的，你应该一步一步的，把它全部都理解透彻，下一次的时候也许他不会把相同的这些东西都给你整合到一块，但是它可能换了一些其他的知识重新进行排列组合。
但无论题目用什么知识点组合，每一步所需要的知识都是你常规能够见到，你能够理解的。
这就引出了一个非常重要的训练策略，也是我们要讲的重点内容：我希望大家在面对那些所谓的难题的时候，不要把他给看成一个整体，你只需把它看成一个一个具体的环节和步骤；不要老想着整体，当你把你的目光从整体收缩到局部的话，你就会发现你手头处理的那一个小环节都是你非常熟悉的已知的知识点，那些都是非常常规的东西，并不是不能解决的难题。
这就是我所谓的「祛魅」：压轴题不是困难的题，而是复杂的题，你要动用一点庖丁解牛的精神，把它每一个部分弄清楚，一切就会变得自然很多。 
复杂数学公式化简的核心原则
在理解了高考数学中压轴大题的思路构建模式之后，数学压轴题不可避免地还会涉及一些具体运算。
高中数学题目大部分的计算并不会很复杂，一般情况下如果一道题目你算起来特别复杂，大概率的原因都是你把它想复杂了。
不过话又说回来，高考题目当中有会有 10-20 分左右的题目的确涉及了比较复杂的运算，这需要你特别小心得应对，稍有不当你可能就会算错。
除了那种 3+2 被你算成 7 的愚蠢错误，其实造成你运算方面失手的原因只有两种。
盲目并项计算而破坏原有代数结构
咱们先说一类简单的。
一个有效的数学题目解答流程，必须保持题目中所有数学关系式的代数结构稳定，有时你的题目之所以越算越复杂，越算越乱，原因就在于你破坏了题目中关键的代数结构。
这些特定的结构就像你在组装玩具时的模块化组件——生产厂家担心你自己装不好，特意把这些零件拼凑成了特定的模块，而你上手之后先把人家拼好的模块直接拆散。
结果可想而知。
比如说高考中「数列」这个部分有一道非常高频的明星题形，就是让你算差比数列的前 n 项和——所谓「差比数列」，求这种题目的前 n 项和的运算方法甚至都有一个自己的名称，叫做「乘公比错位相减法」。
这个方法没有什么思路上的技巧，纯粹就是一些代数运算，但是运算的过程中很能体现我们数学上化简一些复杂公式的基本原则，就是你的整个过程都不能破坏原始的代数结构。
「乘公比错位相减法」的运算核心技巧是：你第一步乘公比的时候，一定要把这个公比乘到等比数列上去，而且不能够进行盲目的并向运算，因为有些时候并向计算看起来是简单了，但是它会损失原有的代数结构。
构造同类项
当然，你除了不能随意破坏关键的代数结构之外，有些时候为了完成题目简化，你还需要主动构造一些代数结构。
而高考所涉及的所有复杂算式化简，背后均有一个统一的主旨：同类项。
这是一个非常纯粹的逻辑性结论：对于复杂算式，只有能够寻找并消除所有的同类项，原式才能得以形式上的化简。
除此之外，括号的拆分、通分与合并、甚至是带入消元，都只是「同类项」这个主线背后的辅助手段。
至于有些老师建议学生「实在没办法了就把括号拆了试一试」——这简直是饮鸩止渴。
因为有时，拆开两个均含两项的括号，你有可能得到的是一个四项式——假使没有什么可以抵消的东西，乱拆括号不但不会让你的式子简化，还会越拆越乱。
这么干说、大家可能感受不到我在说什么，举个例子吧。
下面这道题来自 2017 年全国 1 卷理科数学第 20 题的第 2 问：
…
我把它的解答过程贴在下面：
证明：
…
…
这道题解答的核心有 3 点：
其一是选择一条恰当的直线形式——在这里，我们选择了直线的斜截式方程，但是考虑到直线还可能没有斜率，所以我们进行了分类讨论；
其二是关于韦达定理的应用；
当然上面两条都只是常规的知识应用，我们真正的运算部分涉及到了一个非常复杂的算术形式，你必须把这个复杂式子化简后才能解得最终答案，我把这个最核心的步骤截出来给大家看：
…
有很多同学在算到上面的第一行时，一看这个算式这么复杂，上手就把括号全部拆了，然后向看看拆完之后什么样——事实上如果你这样做，你将得到一个高度复杂的算式，往后的化简就会很麻烦了。
这道题目正确的做法是你需要认真观察：这个复杂式的两项当中有一个公因式（b-1），你要把它给提取出来，然后消除掉，进而完成整个公式的简化。
很多同学认为高中数学中的复杂公式化简是一门非常玄幻的学问。
事实上，高中各种各样的公式变换背后有一条统一的主线可以帮助你思考。
那就是：你要消除同类项。
一个公式现在很复杂，你想让他变得简单一点，你最基本的想法不应该是直接把括号给拆了，而应该想办法创造更多的括号出来。
因为拆括号并不能降低公式的复杂度，有时甚至因为你拆了括号，你的公式每一项看上去还更复杂；
而你一旦创造了更多的括号，相当于你为自己的算式进行因式分解，你可以从中窥见某些公因式，消除掉它们，你的公式才能简化。
备案号:YX01wAgQQLm0reDWB
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