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8. 单项选择题、多项选择题、几何大题题型解析，攻克高考！

知乎盐选 2024年08月01日 95 次阅读阅读原文

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核心导读解析高考数学选择题策略，提高解题效率，掌握时间分配，提升试卷区分度。

单项选择题、多项选择题、几何大题题型解析，攻克高考！
高中数学提分手册：明晰高考套路，学习事半功倍
高考数学要求你用 120 分钟完成 150 分的题，很多同学感觉时间不够用，那么你的时间都在了哪里呢？
通常而言，考试时感觉时间不够用的同学往往是在「小题」上花费了太多的时间。
接下来，我将分别说明单项选择题、多项选择题的解题思路，和怎样利用解析几何大题的评分规则与踩分点多拿步骤分？
单项选择题有什么好的解题策略？
考场时间配比
以全国卷为例，尽管 16 道小题占据了将近 60% 的卷面分（80/150），你却必须在 30% 的考场时间内（45/120）完成全部小题。
只有这样，你后面的 6 道大题才有足够的时间（然而，每道大题 12 分钟，其实也没有你想的那么「足够」）。
但好消息是：
选择题在数学试卷中有其鲜明特征，它不要求学生从无到有地徒手摸索答案，而仅需考生从限定的答案中择优选择；因此，能否有效利用选项信息，或能决定考场上选择题的解答效率。
请注意这个词：解答效率。
你也许可以用做对每一道选择题，但如果这道题花费了你 10 分钟才做对，那在考场上你的解答应该算是「失败」，因为你做对了这道题，就没时间做其他题了，这种解答算不上「有效率」。
解题效率：选择题的选项可以提升效率
那么怎样提升你选择题的解题效率呢？
在其他章节中，我们曾经解构过一道题目被正确解答的三个必要环节：条件转化、思路构建、以及代数运算。
在具体谈到「你的条件为什么会用漏」时，我们着重指明的最后一点是：选择题中的「选项」也可以成为暗示性的「条件」。
今天我们掰开揉碎谈谈这句话：如何利用选择题中的选项？
比如，我们可以来看一道 2017 年北京理科卷的压轴选择题：
…
许多同学读完题目数据之后感到无从下手，然而这道题目的 Key-point 隐含在两点当中，从两个方向都可以构建解题思路：
其中之一是题目给出的「参考数据」，敏感的考生读题之后应该想一下「这个数据应该怎么用」，或许能够构建有效的解题思路。
不过这种思考中的 GAP 也许仍旧过大，另一条顺其自然的想法是——观察选项：
…
如果你注意到，四个选项中所有的差别仅仅存在于指数位置（图中已用黄色字体标出），那么实际上这个题目的选项暗示我们的是：最终实际要大家求解的并非题干中问的 M/N，而仅仅是方程中的 x——求解一个指数方程，这就明确要求我们需要对两侧以 10 为底取对数，进而使用简单的指数运算律，这道压轴选择题目就被瓦解。
换言之：对选择题而言、题目中「四个选项的差异」蕴含了非常重要的信息量。
各位同学请注意：选择题在数学试卷中有其鲜明特征，它不要求学生从无到有地徒手摸索答案，而仅需考生从限定的答案中择优选择。
因此在极端条件下，一条明智的策略是：对比四个选项的异同之处，对四个答案的微小差别之中进行分析，而这个「差别」或为全题核心所在。
多项选择题有什么好的解题策略？
高考是「考生-命题人-阅卷人」的一场三方博弈，这其中的每方玩家都有自己必须遵守的规则，都有自己要完成的 KPI 指标，谁也不能坟头蹦迪，左右横跳。
而对于命题组的老师来说，评价一份高考试卷的质量高不高，其实是有很多度量指标的。
其中最重要的一个指标，叫做试卷的「区分度」。
如果大家未来进入大学修读教育学专业，你很有可能在自己的必修课表里见到一门叫做《教育评价学》或《教育统计与测量》的课，有些学校还直接把这门课叫做《考试学》，不严格地说，这门学科就是教你如何命制一套科学试卷来检测学生的学习质量，在这门课上，所有的传统理论都会告诉你，衡量一张试卷的科学性有 4 个评价指标，分别是：难度、信度、效度和区分度。 
难度最容易理解，说的是一张试卷的难易程度，它最常用的评价指标就是老师嘴里常说的「难度系数」；
信度讲的是一张试卷考查效果的稳定程度，通俗来讲就是你用同一个知识点考同一个学生很多次，看看他的最终得分是否稳定；
效度讲的是你测试的内容和学生学习内容时间是否有强相关性，很多同学读了大学之后感觉老师课堂上讲完整数的加减运算，考试就考拉贝收敛判别，所考非所学，这就属于试卷效度层面的衡量；
区分度是这些指标中最重要的一个，讲的是你的这份试卷应该做到让对知识掌握熟练的同学得高分，对知识半懂不懂的学生得低分，完全没学的同学不得分。特别是在有筛选性质的考试里，试卷的区分度就显得尤为重要，而高考，其实就正是一场需要区分度的考试。
另外多说一句，上述四项评价指标并不是相互独立的。
比如我们都知道题目的难度和区分度绝对有关，特别简单的题目大家都会做对，例如高考的前两道选择题，往往就是复数和集合的运算；但有些题目特别难，大部分同学都很难做对，比如压轴的导数和解析几何大题——这些难度条两端的题目都很难有区分度，因此在试卷中真正能体现区分度的，其实是中档题目的设计。
这就回到了我们的试卷布局：如果选择题的前半段太简单，大题又往往会太难，真正能够反映试卷区分度的题目在哪里，我想各位同学都能发现：要么是填空题，要么是中高难度的选择题。 
而想要提升一张试卷的区分度，最简单的一个方法就是将每道题目得分的取值范围变得更大。
比如一道小题如果只有 1 个空，对了 5 分，错了 0 分，那只能做一半的学生，它有点会，但不完全会，如果只看最终答案就是 0 分，相当于把他和那些「完全不会的同学」一起误杀了，区分度太低。
解决这个问题的一个办法就是把填空题从每题 1 空，增加为每题 2 空——这就是大家看到 2021 年全国新高考 1 卷 16 题采用的方法：
…
那对于选择题，更直接的办法就是变单选为多选，这样原来只有 0 分或 5 分的题目，中间多出了一个 3 分段；
考虑到这 4 道选择题恰好位于中高难度区间，所以改单选为多选，可以极大帮助命题组老师优化「试卷区分度」这条核心 KPI 指标。
如果你理解命题组的一项考核指标是要追求试卷区分度，那么多项选择题的正确选项个数，要么是 2 个，要么是 3 个。
因为多选题明确告诉了你有不止一个正确选项，我唯一需要解释的是：为什么多选题不可能有 4 个选项。
因为一旦有 4 个正确选项，随便蒙任何一个选项，都能至少得 3 分；而众所周知没有任何一个学生在考场上会把选择题空着不写的，所以这道题就只有 3 分和 5 分两个可能了。
原来单选题还是 0 分和 5 分，你现在直接给所有学生发了个 3 分的阳光普照奖，这道题的区分度就完全没有了，命题组真的就不要 KPI 了吗？
实际上这个论断还能得到实证检验。
虽然高考数学刚刚出现多选题，样本数据太少，但是众所周知高考的物理试题一直都是多选：
我们统计了过去 10 年全国卷以及各个省份的 300 多道物理多选题，发现没有一道物理多选题是 4 个正确选项的。
在这个原则指导下，我们就能发现很多多选题的解答策略，比如最显而易见的几个是：
如果你已经判断出了两个错误选项，那么剩下的两个一定是对的。
如果有两个选项形式等价，即要么都对要么都错，那么你只用判断剩下的两个选项就可以：
情况 1：如果剩下的两个选项都对，那之前的两个肯定都错了；
情况 2：但剩下的两个选项里只要出现 1 个错误，那之前的两个肯定都对了：
这条策略没那么好理解，需要你仔细想一想。
2021 年全国新高考 1 卷的第 11 题就是典型例子：
这道题的 CD 选项对称等价，而 AB 两个选项属于非常容易判断的：
…
最后，多项选择题还有一条不那么严格牢靠，但极端状态下可以默认的经验规律，即：
A、B 两个选项一般不可能都错，至少得对一个。
所以面对一道很难的多选题实在没办法，你最好在前两个选项里蒙 1 个。
这是为什么呢？这背后就需要一点你对人性的洞察了，留给大家做一个思考题吧，欢迎你在评论区里讲讲你的看法。
怎样利用解析几何大题的评分规则与踩分点多拿步骤分？
在我们高考阅卷的时候每张试卷后面的六道大题，你猜作为阅卷老师，我们最喜欢改哪道题呢？
所有的老师都最喜欢改解析几何，有两个原因：
第一是因为解析几何这道题目很多同学都不写，所以说看完了之后直接打零分，非常方便。
另一个原因是解析几何这道大题，作为一道压轴题目却和其他所有的大题不一样，它的评分框架非常之清晰。
比方说我们以全国卷为例：
全国卷当中解析几何的压轴大题通常是 12 分，设置了两个小问，第一问的一般来说是让你根据圆锥曲线那些基本性质去求解一个曲线方程价值 4 分，这个大家来说都比较容易。但是他的第二问很多东西他感觉是无从下手的，这 8 分你拿起来就特别费劲。
事实上如果说你凑近去看这 8 分，他有三个非常清晰的步骤。
在阅卷的时候，通常我们采用的是 3 加 3 加 2，或者是 3 加 2 加 3 这样的一个评分框架。
最主要的原因是因为所有的解析几何的大题，他背后的逻辑大同小异。
比如说你可以想象一下这道解析几何的大题。
第一问你求出了一个曲线的方程，第二问他必然是架构在第一位这个曲线之上，然后又有一条直线和这个曲线产生了两个交点。
所以说，你通常来说要设一条直线的方程，把这个直线方程带入曲线当中，联立消掉一个未知数了之后得到一个二次方程。
而我们非常清楚从数形结合的这个角度，你得到的二次方程的两个根，事实上的就是这个曲线与直线交点的两个坐标。
并且在初中的角度上老师会告诉你，二次方程他的两个根之间是有关系的，也就是我们传统意义上所说的，韦达定理。
同学们到此为止你可以发现，我们至少用到了三个非常重要的知识点。
这个就对应了解析几何这道 8 分的第二问他的前 3 分：
首先你看你设置了一个直线方程这个就价值 1 分；
然后你设了图像两个焦点的坐标，进而带入直线方程之后得到了一个二次方程，然后你告诉老师这个方程的解就是我们图像焦点的坐标，从而你向老师清晰的表明站在数形结合的角度你非常的了解两个曲线联立之后方程的根和我们几何图像上边的交点之间的代数关系，因此站在这个角度你又得到了一分；
接下来你告诉我韦达定理是不是还有一分？
所以说这前边的 3 分加上第一问的 4 分，总共的 7 分你拿起来事实上是非常轻松的。
那么写完韦达定理了之后，通常而言这道题目还会给你一些条件，他都是以几何语言描述的，你要对这些几何条件完成代数化的表示，这个代数化的过程你就是要用 x1+x2 和 x1*x2 把那个几何条件给转化出来，转化完成了之后你还能够再得 2-3 分。
而这些条件他往往涉及的就是弦长、面积、切线、角度这四类东西。
一个题目的条件比较简单的话，那你转化完了之后，在这可能是得到了 2 分；如果说这个条件比较复杂，你转化起来非常费劲的话，那么在这很有可能就是一个 3 分的踩分点。
在转化完了题目条件了之后，最后你要对他进行化解和执行运算，化解完最后的结果了之后还有 2-3 分等着你。
因此你整体来看，8 分的第二问看到往往是 3 加 3 加 2，或者是 3 加 2 加 3 这样的一个步骤。
我们来举几个例子。
比方说各位同学你可以来看 2021 年全国一卷这道第 21 题：
…
他的第一问是 4 分让你去算了一个曲线的方程，然后接下来你来看他的第二问他说过点题有两条直线，这两条直线过了同一个点只不过是斜律上的不同，因此他完全是对称的一些运算，条件转化稍微麻烦了一点，所以说在这这个框架上给到的是 3+3+2；
比如说你可以继续来看 2021 年全国卷：
…
这个是老高考区的理科数学第 21 题，原来仔细看他的第一问是让你去求了一个抛物线，求完抛物线的时候你看他的第二问。
虽然说没有直说一条直线，但是他都跟抛物线有两个交点 A 和 B 了，那么你毫无疑问设这个直线 AB，把这个方程带入抛物线当中，联立求解韦达定理，这个是第一个大步骤。
接下来你来看这道题目的核心条件是一个切线条件，要把这个条件给我转换成代数语言；然后这道题问的是三角形面积的范围，这里头运算是变成了一个函数求最值，运算相对麻烦了一点。
所以说在这个框架上面在这个框架上面很可能是采用了 3 加 2 加 3 的一个评分框架来应用。
那无论如何大家可以从这两道题目当中明确的感受到高考数学题目当中的解析几何他的整体步骤框架是非常清晰的。
而你在高考考场上通常来说第一问的 4 分以及第二问截止韦达定理的这三分拿起来是非常顺手的。
如果说你还有所余力的话可以进一步的去对题目进行一个转化，即便是最后这个数据化简我算不出最终的结果，那么你仍然可以保留 7-10 分的成绩，这个对于 12 分的这道压轴题目来说，应该是一个非常理想的结果。
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